Question

若存在實常數k和b，使函數f（x）和g（x）對其定義域上的任意實數x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，則稱直線l：y=kx+b為f（x）和g（x）的“隔離直線”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx，則可推知h（x），φ（x）的“隔離直線”方程為

y=2

e

x-e

．

Answer 1

分析：存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構造函數，求出函數函數的導數，根據導數求出函數的最值

解答：解：令F（x）=h（x）-φ（x）=x²-2elnx（x＞0），再令F′（X）=2x-

2e

x

=0，解得 x=

e

．
從而函數h（x）和φ（x）的圖象在x=

e

處有公共點．
因此存在h（x）和φ（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k，則
隔離直線方程為y-e=k（x-

e

），即y=kx-k

e

+e．
由h（x）≥kx-k

e

+e可得 x²-kx+k

e

-e≥0當x∈R恒成立，
則△=k²-4k

e

+4e=(k-2

e

)2≤0，只有k=2

e

時，等號成立，此時直線方程為：y=2

e

x-e．
同理證明，由φ（x ）≤kx-k

e

+e，可得只有k=2

e

時，等號成立，此時直線方程為：y=2

e

x-e．
綜上可得，函數f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y=2

e

x-e．

點評：本題以函數為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，考查函數的求導，利用導數求最值，屬于難題．