Question

如圖，兩個工廠相距，點為的中點，現要在以為圓心，為半徑的圓弧上的某一點處建一幢辦公樓，其中.據測算此辦公樓受工廠的“噪音影響度”與距離的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠的“噪音影響度” 與距離的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受兩廠的“總噪音影響度”是受兩廠“噪音影響度”的和，設為.

(Ⅰ)求“總噪音影響度” 關于的函數關系，并求出該函數的定義域；

(Ⅱ)當為多少時，“總噪音影響度”最小？

 

Answer 1

解：(Ⅰ)連接，設則.              … …1分

在△中，由余弦定理得，……2分

在△中，由余弦定理得，

………3分

∴.則.             …………4分

∵，則，∴，

∴.                                  ………6分

.                  …………7分

 

(Ⅱ)令.            …………8分

∴.     

由，得，或（舍去）.         …………10分

當，函數在上單調遞減；

當，函數在上單調遞增；   …………12分

∴當時，即時，函數有最小值，

也即當為（）時，“總噪音影響度”最小.  …………14分