Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．

（1）求證：AB∥EF；

（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求證：AF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 見解析

【解析】

（1）證明：AB∥平面PCD，即可證明AB∥EF；
（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，證明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可證明AF⊥平面PCD.

（1）證明：底面ABCD是正方形，

AB∥CD ,

又AB平面PCD，CD平面PCD，

AB∥平面PCD ,

又A，B，E，F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，

AB∥EF ;

（2）證明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD,CD平面PAD

CD⊥平面PAD ,

又AF平面PAD ,

CD⊥AF ,

由（1）可知，AB∥EF，

又AB∥CD，C,D,E,F在同一平面內，

CD∥EF ,

點E是棱PC中點，

點F是棱PD中點 ,

在△PAD中，PA=AD，

AF⊥PD ,

又PD∩CD=D，PD、CD平面PCD,

AF⊥平面PCD．