Question

【題目】已知函數．

（1）求證：函數在內單調遞增；

（2）記為函數的反函數．若關于的方程在上有解，求的取值范圍；

（3）若對于恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）[log2，log2]；（3）（log2，+∞）

【解析】

（1）用單調性定義證明，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位；

（2）先求得反函數，構造函數，利用復合函數的單調性求得函數的值域；

（3）原不等式轉化為，，恒成立，解得即可．

解：（1）任取，則，

，，

，

，

即函數在內單調遞增

（2），

當時，，

的取值范圍是．

（3）對于，恒成立，

，

在定義域上單調遞增

，上恒成立

即在上恒成立

令，

在定義域上單調遞增，且在上也單調遞增，由復合函數的單調性可知在上單調遞增，

解得．

故的取值范圍為．