Question

已知焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，

2

2

），直線l過點F₂與橢圓交于A、B兩點，其中O為坐標原點．
（1）求

OA

•

OB

的范圍；
（2）若

OA

+

OB

與向量

a

=(-2

2

，1)共線，求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圓方程．

Answer 1

分析：（1）利用焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，

2

2

），結合橢圓的定義，可以求出橢圓的標準方程，再將直線方程與橢圓方程聯立，將數量積用坐標表示，就可以求出

OA

•

OB

的范圍；
（2）

OA

+

OB

與向量

a

=(-2

2

，1)共線，及韋達定理，我們可以求出

OA

•

OB

的值，再分類求出△AOB的外接圓方程即可．

解答：解：（1）∵焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）的橢圓經過點（1，

2

2

），
∴2a=2

2

，∴a=

2

，
∵焦點為F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以橢圓的方程是

x2

2

+y2=1，
直線方程y=k（x-1）代入橢圓的方程

x2

2

+y2=1，消去y，化簡為（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=

k2-2

2k2+1

（#）  
令

k2-2

2k2+1

=m，則k2=

m+2

1-2m

≥0，∴-2≤m＜

1

2

，∴-2≤

OA

•

OB

＜

1

2

當k不存在時，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，則

OA

•

OB

=

1

2

綜上，-2≤

OA

•

OB

≤

1

2

（6分）
（2）

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)
∵

OA

+

OB

與向量

a

=(-2

2

，1)共線
∴x1+x2=-2

2

(y1+y2)
∴x1+x2=-2

2

[k(x1-1)+k(x2-1)]
由韋達定理知k=0或k=

2

代入（#）得

OA

•

OB

=-2或0
當

OA

•

OB

=-2時，A，O，B共線，不存在外接圓
當

OA

•

OB

=0時，

OA

⊥

OB

，外接圓直徑為AB，圓心為（

4

5

，-

2

5

），r2=|OC|2=

18

25

∴△AOB的外接圓方程為(x-

4

5

)2+(y+

2

5

)2=

18

25

點評：橢圓的標準方程的確定，關鍵是確定橢圓的幾何量，直線與橢圓的位置關系問題，通常要利用韋達定理，注意掌握技巧與方法．