Question

【題目】已知函數（），.

(1)若對任意的，，都有恒成立，試求m的取值范圍；

(2)用表示m，n中的最小值，設函數（），討論關于x的方程的實數解的個數.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析.

【解析】

（1）根據恒成立轉化為恒成立，即來研究函數的最值，再分當，，時三種情況分分類討論求解.

（2） 將方程的實數解的個數，轉化為函數零點的個數問題來研究，根據函數的定義，分，，，即，，三種情況下，對討論.

（1），

當，即時，在上單調遞增，

，，

所以，

解得，不合題意舍去，

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

而，，

所以有，

解得，即，

當即時，在上單調遞減，

，，

，

解得，不合題意，

.綜上所述，m的取值范圍為.

（2）方程的實數解的個數函數零點的個數.

①當時，，所以，

所以函數在上沒有零點，即方程在上沒有實數解；

②當時，，，

若，即時，

，所以是函數的零點，

即方程有一實數解，

若，即，

，所以此時不是函數的零點，

即方程此時無實數解；

.③當時，，所以只需考慮在上的零點個數，

則由得，即問題等價于直線與函數，圖象的交點的個數.

由于對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，

結合，的圖象可知，

當時，與函數，的圖象沒有交點，

即函數在上沒有零點，即方程在上沒有實數解；

當或時，在上有一個實數解；

當時，在上有兩個實數解；

綜上所述，當或時，方程有一個實數解，

當或時，方程在上有兩個實數解，

當時，方程在上有三個實數解.