Question

【題目】二次函數的圖象頂點為，且圖象在軸上截得的線段長為8.

（1）求函數的解析式；

（2）令.

（ⅰ）求函數在上的最小值；

（ⅱ）若時，不等式恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(i)分類討論，詳見解析；（ii）.

【解析】

（1）先設二次函數為頂點式，然后根據其頂點為,可知函數的解析式為，由圖象在軸上截得的線段長為8，利用韋達定理即可解.

（2）（i）先求出函數的解析式，再根據，分類討論函數的對稱軸，當時，函數最小值的情況.

（ii）不等式恒成立轉化為函數在區間上最大值小于等于17，再利用分類討論思想討論a的范圍即可解.

解：（1）由題意設，與軸的交點坐標為，

∴，∵，

由韋達定理可得.

∴，

∴，∴

（2），

對稱軸為，

（ⅰ）當時，函數在區間為單調減函數，

∴；

當時，函數在區間上為單調增函數，在區間上為單調減函數，

.

當時，函數在區間上為單調增函數，

在區間上為單調減函數，∴.

當時，．

∴函數在上的最小值為.

（ⅱ）①當時，恒成立，只需，即，顯然成立，∴.

②當時，恒成立，只需，即，

即，∴.

③當時，恒成立，只需，即，

即，這與矛盾，故舍去．

綜上所述，的取值范圍是