Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，短軸長為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意建立關于的方程組，解之可得橢圓的方程；

（Ⅱ）聯立直線的方程和橢圓的方程，得到關于交點坐標的關系，并且由根的判別式得出關于的不等式，從而得到線段的中點，和線段的垂直平分線的方程，由點在其垂直平分線上得出關于的方程，可得到關于的不等式，解之可得的范圍.

（Ⅰ）由題意可知：， 得，

故橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）設，，將代入橢圓方程，

消去得，

所以，即…………①

由根與系數關系得，則，

所以線段的中點的坐標為．

又線段的垂直平分線的方程為，

由點在直線上，得，

即，所以…………②

由①②得，

所以，即或，

所以實數的取值范圍是．