Question

已知函數f（x）=2x³-2x²+x+

1

2

．
（1）求證：f（x）在R上是增函數；
（2）設a₁=0，a_n+1=

1

2

f(an) （n∈N₊），b₁=

1

2

，b_n+1=

1

2

f(bn) （n∈N₊）．
①用數學歸納法證明：0＜a_n＜b_n＜

1

2

（n＞1，n∈N）；
②證明：b_n+1-a_n+1＜

bn-an

2

 （n∈N）．

Answer 1

分析：（1）通過函數的導數，判斷導函數的正負，然后證明f（x）在R上是增函數；
（2）利用a₁=0，a_n+1=

1

2

f(an) （n∈N₊），b₁=

1

2

，b_n+1=

1

2

f(bn) （n∈N₊）．
①直接利用數學歸納法證明的步驟證明：0＜a_n＜b_n＜

1

2

（n＞1，n∈N）；
②利用放縮法證明：b_n+1-a_n+1＜

bn-an

2

 （n∈N）．

解答：證明：（1）f′(x)=6x2-4x+1=6(x-

1

3

)2+

1

3

＞0，
∴f（x）在R上是增函數．…（4分）
（2）①用數學歸納法證明.1⁰當n=2時，a2=

1

2

f(a1)=

1

2

f(0)=

1

4

，b2=

1

2

f(b1)=

1

2

f(

1

2

)=

3

8

，
∴0＜a2＜b2＜

1

2

，不等式成立．…（6分）
2⁰假設n=k（k＞1，k∈N）時不等式成立，即0＜ak＜bk＜

1

2

．
∵f（x）在R上是增函數，∴f(0)＜f(ak)＜f(bk)＜f(

1

2

)，
故

1

4

=

1

2

f(0)＜ak+1＜bk+1＜

1

2

f(

1

2

)=

3

8

，即0＜ak+1＜bk+1＜

1

2

，
∴n=k+1時不等式也成立．
由1⁰、2⁰得不等式0＜an＜bn＜

1

2

對一切n＞1，n∈N都成立．…（10分）
②由①知0＜an＜bn＜

1

2

，∴0＜a_n+b_n＜1．
∴

bn+1-an+1

bn-an

=

b 3 n - b 2 n + bn 2 -( a 3 n - a 2 n + an 2 )

bn-an

=

b 3 n - a 3 n -( b 2 n - a 2 n )+( bn 2 - an 2 )

bn-an

=(

b

2 n

+anbn+

a

2 n

)-(bn+an)+

1

2

                      …（13分）
＜(an+bn)2-(an+bn)+

1

2

=(an+bn)(an+bn-1)+

1

2

＜

1

2

．…（16分）

點評：本題考查好的導數判斷函數的單調性，數學歸納法證明不等式的方法，放縮法證明不等式的方法，考查分析問題解決問題的能力．