Question

已知問題“設正數x，y滿足

1

x

+

2

y

=1，求x+y的最值”有如下解法；
設

1

x

=cos2α，

2

y

=sin2α，α∈(0，

π

2

)，
則x=sec²α=1+tan²α，y=2csc²α=2（1+cot²α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+

2

tan2α

≥3+2

2

，等號成立當且僅當tan2α=

2

tan2α

，即tan2α=

2

，此時x=1+

2

，y=2+

2

．
（1）參考上述解法，求函數y=

1-x

+2

x

的最大值．
（2）求函數y=2

x+1

-

x

(x≥0)的最小值．

Answer 1

分析：（1）令

1-x

=cosα，

x

= sinα，α∈(0，

π

2

)，y=cosα+2snα=

5

sin(α+θ)，結合正弦函數的性質可求函數的最大值
（2）令

x+1

=secα，

x

=tanα，α∈(0，

π

2

)，則y=2secα-tanα=

2

cosα

-

sinα

cosα

=

2-sinα

cosα

=-

sinα-2

cosα-0

，設k=

sinα-2

cosα-0

可以看成在單位圓（在第一象限的

1

4

圓周）上任取一點（cosα，sinα）與M（0，2）點的連線的斜率，結合圖象可求最小值

解答：解：（1）令

1-x

=cosα，

x

= sinα，α∈(0，

π

2

)
y=cosα+2sinα=

5

sin(α+θ)（θ為輔助角）
函數的最大值

5

（2）令

x+1

=secα，

x

=tanα，α∈(0，

π

2

)
y=2secα-tanα=

2

cosα

-

sinα

cosα

=

2-sinα

cosα

=-

sinα-2

cosα-0

設k=

sinα-2

cosα-0

可以看成在單位圓（在第一象限的

1

4

圓周）上任取一點（cosα，sinα）與M（0，2）點的連線的斜率
結合圖象可知，在MB位置時，函數斜率有最小值，此時直線MB與圓相切，此時斜率最大即-

sinα-2

cosα

取得最小值
設MB的直線為y=kx+2即kx-y-2=0
由直線與圓相切可得圓心（0，0）到直線MB的距離等于半徑，即1=

2

1+k2

∴k=

3

（舍）或k=-

3

∴-

sinα-2

cosα

取得最小值為

3

即y=2

x+1

-

x

的最小值

3

點評：本題主要考查了三角函數的換元在求解函數的最值中的應用，（1）主要利用了輔助角公式及正弦函數的性質，（2）是構思非常巧妙的試題，注意題目中的幾何意義的應用及求解圓的切線方程的求解，是一道好題