Question

若

a

，

b

是平面內不共線的向量，

c

是平面內任一向量，關于實數x的方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

，下列說法正確的是（　　）

A．有兩個不同的解

B．只有一解

C．至多有一個解

D．無解

Answer 1

分析：關于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

，可轉化為

c

=-x²

a

-x

b

，由向量

a

、

b

不共線，根據平面向量的基本定理我們易判斷存在有且僅有一對實數λ₁、λ₂，滿足方程，即λ₁=-x²且λ₂=-x，根據實數
的性質，我們易判斷方程根的個數．

解答：解：原方程即：

c

=-x²

a

-x

b

，∵

a

、

b

不共線，可視為“基底”，
根據平面向量基本定理知，有且僅有一對實數λ₁、λ₂，使得λ₁=-x²且λ₂=-x，
即當λ₁=-λ₂²時方程有一解，否則當λ₁ ≠-λ₂²時方程無解，
故關于實數x的方程

a

x2+

b

x+

c

=

0

至多有一個解，
故選C．

點評：本題主要考查平面向量的基本定理及其意義，即平面內任意向量都可由兩不共線的非零向量唯一表示出來，此題不可用“判別式”，“判別式”只能判別實系數一元二次方程的根的情況，而本題中二次方程的系數是向量，屬于中檔題．