Question

已知定義在R上的奇函數f(x)=

4x+b

ax2+1

的導函數為f′（x），且f′（x），在點x=1處取得極值．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區間（m，m+2）上是增函數，求實數m所有取值的集合；
（3）當x₁，x₂∈R時，求f′（x₁）-f′（x₂）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的結論f（0）=0求出b的值，再由點x=1處取得極值得f′（1）=0，求出a的值；
（2）由（1）求出f′（x），再令f′（x）＞0，求出x的范圍，得到增區間（-1，1），結合題意求出m的值；
（3）把f′（x）分離常數后，再利用換元法，即t=

1

x2+1

，求出t的范圍，轉化為關于t的二次函數，求出f′（x）的值域，讓最大值減去最小值，即是所求的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x+b

ax2+1

是奇函數，∴f（0）=0，求得b=0，
又∵f′(x)=

4(ax2+1)-4x•2ax

(ax2+1)2

，且f（x）在點x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，解得a=1，故f(x)=

4x

x2+1

．
（2）∵f′(x)=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，由f′（x）＞0得，-1＜x＜1，
∴f（x）的單調遞增區間為（-1，1）．
若f（x）在區間（m，m+2）上是增函數，則有m=-1．
即m取值的集合為{-1}．
（3）∵f′(x)=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

=4[

2

(x2+1)2

-

1

x2+1

]，
令t=

1

x2+1

，則f′(x)=g(t)=4(2t2-t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

，t∈(0，1]，
∴f′(x)∈[-

1

2

，4]，
∴f′(x1)-f′(x2)≤4-(-

1

2

)=

9

2

，
∴f′（x₁）-f′（x₂）的最大值為

9

2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數單調性和極值問題，奇函數性質的應用，分離常數和換元法求最值，難度大，綜合性強．