Question

我們在下面的表格中填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為q的數列{a_n}依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）按照填寫規則，請在上述表格內填寫第二行的空格以及第二列的空格；
（2）試用n、q表示第二列的各數之和；
（3）設第3列的數依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，若c₁，c₂，c₃成等比數列，試求q的值；能否找到q的值，使得數列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m項c₁，c₂，c₃，…，c_m（m≥3）成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由．

Answer 1

分析：（1）按照規定的要求，依次填寫即可．
（2）由（1）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1），各項利用等比數列的前n項和公式化簡，再求和．
（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²，c₁，c₂，c₃成等比數列求出q=-

1

2

，c₄=4+3q+2q²+q³得知c4=

23

8

，而

c4

c3

=

23 8

9 4

≠

3

2

，所以對于任意的m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比數列．

解答：解：（1）如表…（3分）

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q	1+q	2+q		（n-1）q
第3行	q2	1+q+q2
…	…
第n行	qn-1	1+q+…qn-1

（2）S=1+（1+q）+（1+q+q²）+…+（1+q+…+q^n-1）
當q=1時，S=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

   
 當q≠1時，1+q+…+q^n-1=

1-qn

1-q

S=

n-(q1+q2+…+qn)

1-q

=

n

1-q

-

qn-qn+1

(1-q)2

所以綜上可知Sn=

n(n+1) 2 q=1 n 1-q - qn-qn+1 (1-q)2 q≠1

（3）可知c₁=1，c₂=2+q，c₃=3+2q+q²
由c22=c1c3⇒q=-

1

2

，則c1=1，c2=

3

2

，c3=

9

4

若m≥3時，c₁，c₂，c₃，…，c_m為等比數列，那么c₁，c₂，c₃一定是等比數列
由上可知此時q=-

1

2

，又 c₄=4+3q+2q²+q³得知c4=

23

8

而

c4

c3

=

23 8

9 4

≠

3

2

，所以對于任意的m≥4，c₁，c₂，c₃，…，c_m一定不是等比數列
綜上所述，當且僅當m=3且q=-

1

2

時，數列c₁，c₂，c₃，…，c_m是等比數列．

點評：本題主要考查等比數列的定義、判斷、數列求和．考查閱讀、計算、分析解決問題的能力．