Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，線段B′D′上有兩個動點E，F且EF=

3

2

，則下列結論中錯誤的是（　　）

A．AC⊥BE

B．三棱錐A-BEF的體積為定值

C．EF∥平面ABCD

D．異面直線AE，BF所成的角為定值

Answer 1

分析：根據線面垂直的判定與性質，得到A項不錯；根據點A到平面BEF的距離不變，以及三角形BEF面積不變，得到三棱錐A-BEF的體積為定值，得B項不錯；根據面面平行的性質，得到C項不錯；根據異面直線所成角的定義，可得D項是錯的．

解答：解：對于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D內的直線，因此AC⊥BE成立，故A項不錯；
對于B，點A到平面BEF的距離也是點A到平面BB'D'D的距離，等于正方體面對角線的一半，而三角形BEF的邊EF=

3

2

，且EF到B點距離為1，所以其面積S=

1

2

•

3

2

•1=

3

4

為定值，故V_A-BEF=

1

3

•

3

4

•

2

2

=

6

24

，故B項不錯；
對于C，因為平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故C不錯；
對于D，當EF變化時，異面直線AE、BF所成的角顯然不是一個定值，故D項錯誤．
故選D

點評：本題以正方體為例，要求我們判斷直線與平面、直線與直線的位置關系，以及求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質、面面平行的性質和錐體體積公式等知識點，屬于中檔題．