Question

平面直角坐標系下直線的方程為Ax+By+C=0（A²+B²≠0），用類比的方法推測空間直角坐標系下平面的方程為

Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）

．

Answer 1

分析：首先根據數軸和坐標平面內的情況，加以猜想：空間直角坐標系中平面的方程為：Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）．然后再分類討論，可得到方程Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）在各種情況下，表示什么樣的平面，由此可得正確答案．

解答：解：根據數軸點的程和平面直角坐標系內直線的方程，猜想空間直角坐標系中平面的方程為：Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）
對于方程Ax+By+Cz+D=0，因為A²+B²+C²≠0，所以A、B、C不全為零
①當A、B、C都不是零時，方程表示經過M（-

D

A

，0，0），N（0，-

D

B

，0），P（0，0，-

D

C

）三點的平面；
②當A、B、C中有一個為零時，不妨設A=0，方程表示經過N（0，-

D

B

，0），P（0，0，-

D

C

）且與x軸的平面．
同理可得當B=0或C=0時，分別表示平行于y軸或z軸的平面；
③當A、B、C中有兩個為零時，不妨設A=B=0，方程表示P（0，0，-

D

C

）并且與xoy平面平行的平面．
同理可得A=C=0或B=C=0時，分別表示平行于xoz或yoz平面的平面．
綜上所述，空間直角坐標系中，方程Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）表示一個平面．
故答案為：Ax+By+Cz+D=0（A²+B²+C²≠0）．

點評：本題將一次方程從數軸到坐標平面，再到三維空間加以推廣，探求它所表示的圖形，著重考查了空間直角坐標系中平面的方程和類比推理等知識點，屬于基礎題．