Question

【題目】已知二次函數．

（1）當q=1時，求f（x）在[﹣1，9]上的值域；

（2）問：是否存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51？若存在，求出q的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）[﹣60，21]；（2）存在常數q=9，使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51．

【解析】

（1）將代入函數解析式，得到f（x）=x2﹣16x+4=（x﹣8）2﹣60，結合題中所給的區間，得到函數在哪個點處取得最值，從而求得函數的值域；

（2）假設存在，分情況討論，函數會在哪個點處取得最小值，求得結果.

（1）q=1時，f（x）=x2﹣16x+4=（x﹣8）2﹣60．

∴f（x）在區間[﹣1，8]上遞減，在區間[8，9]上遞增，

∴f（x）max=f（﹣1）=21，f（x）min=f（8）=﹣60，

∴f（x）在[﹣1，9]上的值域為[﹣60，21]．

（2）假設存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51，

∵f（x）=x2﹣16x+q+3=（x﹣8）2+q﹣61，x∈[q，10]

∴當0＜q＜8時，f（x）min=f（8）=q﹣61=﹣51，

∴q=10（舍）．

當q≥8時，f（x）在區間[q，10]上單調遞增，，

解得q=6（舍）或q=9，

故存在常數q=9，使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為﹣51．