Question

(本題13分)

已知f(x)＝lnx＋x²－bx.

(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；

(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，設(shè)g(x)＝f(x)－2x²，求證函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

 

 

Answer 1

【答案】

解:(1)∵f(x)在(0，＋∞)上遞增，

∴f ′(x)＝＋2x－b≥0，對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，

即b≤＋2x對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，

∴只需b≤_min　 (x>0)，

∵x>0，∴＋2x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取“＝”，

∴b≤2，

∴b的取值范圍為(－∞，2]．

(2)當(dāng)b＝－1時(shí)，g(x)＝f(x)－2x²＝lnx－x²＋x，其定義域是(0，＋∞)，

∴g′(x)＝－2x＋1

＝－＝－，

令g′(x)＝0，即－＝0，

∵x>0，∴x＝1，

當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g′ (x)<0，

∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x≠1時(shí)，g(x)<g(1)，即g(x)<0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0.

∴函數(shù)g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．

 

【解析】略