Question

如圖所示，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分別是AB，PC的中點，
（1）求直線MN和AD所成角；
（2）求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由題設條件及幾何體的直觀圖可證得直線MN和AD所成角即直線AE和AD所成角，在△PAD是等腰三角形中，即可得到直線AE和AD所成角角的大小；
（2）觀察圖形，取PD中點E，連接AE，EN，又M，N分別是AB，PC的中點可證得四邊形AMNE是平行四邊形，得出MN∥AE，再證明AE⊥平面PCD即可得到MN⊥平面PCD

解答：證明：（1）取PD中點E，連結AE和NE
因為M、N分別是AB，PC的中點，△PCD中，NE∥CD∥AB，且NE=AM
所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE，
所以直線MN和AD所成角即直線AE和AD所成角
PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，△PAD是等腰三角形，
則直線AE和AD所成角為45度；
（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，所以面PAD⊥平面ABCD且交于AD，
又因為四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE，
又因為△PAD是等腰三角形，所以PA=AD，所以AE⊥PD
所以AE⊥面PCD，又因為 MN∥AE
所以MN⊥平面PCD．

點評：本題第一問中求異面直線所成的角，其作法也是要先作角，證角，求角，幾何中求角的題其做題步驟基本上都分為此三步，做題后注意總結一下這個規律，本題中第二小問證明線面垂直，要注意正確使用判定定理．