Question

(本小題滿分10分)已知構成某系統的元件能正常工作的概率為p(0＜p＜1)，且各個元件能否正常工作是相互獨立的．今有2n(n大于1)個元件可按如圖所示的兩種聯結方式分別構成兩個系統甲、乙．
(1)試分別求出系統甲、乙能正常工作的概率p₁，p₂；
(2) 比較p₁與p₂的大小，并從概率意義上評價兩系統的優劣．

Answer 1

(1) p₁＝pⁿ(2－pⁿ)，(2分)
p₂＝pⁿ(2－p)ⁿ.(4分)
(2) (用二項式定理證明)
p₂－p₁＝pⁿ{ⁿ－2＋ⁿ}
＝pⁿ{－2
＋}
＝pⁿ＞0.(10分)
說明：作差后化歸為用數學歸納法證明：(2－p)ⁿ＞2－pⁿ也可．

略