已知函數
.
（1）當
時，試確定函數
在其定義域內的單調性；
（2）求函數在
上的最小值；
（3）試證明：
.
（1）當時，函數的單調遞減區間為
，單調遞增區間為
；
（2）
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求出函數的定義域求出，然后將代入函數的解析式，求出導數
，并利用導數求出函數的減區間與增區間 ；（2）求出，并求出方程
的
，對
的符號以及
是否在區間內進行分類討論，結合函數的單調性確定函數在上的最小值；（3）利用分析法將不等式
等價轉化為
，然后令
，將原不等式等價轉化為
在，利用（1）中的結論進行證明.
試題解析：（1）函數的定義域為
，當時，
，則
，
解不等式
，得
；解不等式
，得
，
故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
（2）
，
，
當
時，
，，此時函數在區間上單調遞減，
函數在
處取得最小值，即
；
當
時，令
，
當
時，即當
，，，此時函數在區間上單調遞減，
函數在處取得最小值，即；
當
，即當
時，當
，，當
時，，
此時函數在處取得極小值，亦即最小值，
即
，
綜上所述，
；
（3）要證不等式，即證不等式
，即證不等式
，
即證不等式，
令
，則
則
，故原不等式等價于
，
即不等式
在
上恒成立，
由（1）知，當時，函數在區間上單調遞增，
即函數
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
（1）當
時，求函數
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區間
上不單調，求
的取值范圍；
（3）當時，函數
的圖象與
軸交于兩點
，且
，又
是
的導函數．若正常數
滿足條件
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數
(1)當
時，求函數
的最大值；
(2)令
（
）其圖象上任意一點
處切線的斜率
≤
恒成立，求實數
的取值范圍；
(3)當
，
，方程
有唯一實數解，求正數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
.
（Ⅰ）如果函數
在區間
上是單調函數，求
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數，使得函數
在區間
內有兩個不同的零點（
是自然對數的底數）？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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，
.
，求函數
在區間
上的最值；
恒成立，求
的取值范圍. 注：
是自然對數的底數.
(
≠0,
，求函數
的極值和單調區間；
，使得
成立，求實數
.
，求
的單調區間;
對一切
恒成立,求
的取值范圍.
.
在
處取得極值，且函數
的取值范圍.
上不是單調函數，求
的取值范圍.
.
，
對一切
恒成立，求
的最大值；
，且
、
是曲線
上任意兩點，若對任意
，直線
的斜率恒大于常數
，求