Question

【題目】已知函數，當時，的極大值為7；當時，有極小值.求

（1）的值；

（2）求函數在上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.

【解析】

（1）因為當x＝﹣1時，f（x）有極大值，當x＝3時，f（x）有極小值，所以把x＝﹣1和3代入導數，導數都等于0，就可得到關于a，b，c的兩個等式，再根據極大值等于7，又得到一個關于a，b，c的等式，三個等式聯立，即可求出a，b，c的值．

（2）先求出函數f（x）的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值．

（1）∴f（x）＝x3+ax2+bx+c

∵f′（x）＝3x2+2ax+b

而x＝﹣1和x＝3是極值點，

所以，解之得：a＝﹣3，b＝﹣9

又f（﹣1）＝﹣1+a﹣b+c＝﹣1﹣3+9+c＝7，故得c＝2，

∴a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；

（2）由（1）可知f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+2，

∴f′（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x﹣3）（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜﹣1，

令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，

∴函數f（x）在[0，3]遞減，在[3，4]遞增，

∴f（x）最小值＝f（3）＝﹣25．

而f（4）＝-18，f（0）＝2，

∴f（x）最大值＝2.