Question

（理）如圖，將∠B＝，邊長為1的菱形ABCD沿對角線AC折成大小等于θ的二面角B－AC－D，若θ∈［，］，M、N分別為AC、BD的中點，則下面的四種說法：

①AC⊥MN；
②DM與平面ABC所成的角是θ；
③線段MN的最大值是，最小值是；
④當θ＝時，BC與AD所成的角等于.
其中正確的說法有　　　　(填上所有正確說法的序號).

Answer 1

① ③

試題分析：如圖，

AC⊥BM，AC⊥MD⇒AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN，①正確；因為θ∈［，］，且線與面所成角的范圍為［0，］，所以DM與平面ABC所成的角不一定是θ，②錯；BM＝DM＝，MN⊥BD，∠BMD＝θ，所以MN＝BM·cos＝·cos，所以線段MN的最大值是，最小值是，③正確；當θ＝時，過C作CE∥AD，連結DE，且DE∥AC，則∠BCE(或其補角)即為兩直線的夾角，BM⊥DM，BM＝DM＝，BD²＝，又DE∥AC，則DE⊥平面BDM，∴DE⊥BD，BE²＝＋1＝，cos∠BCE＝≠0，所以④錯
點評：解決該試題的關鍵是理解折疊圖前后的不變量，以及垂直的關系。同時能熟練的利用線面的垂直的判定定理和性質定理，屬于中檔題。