Question

已知關于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩個根恰好是一個直角三角形的兩個銳角的余弦，求實數m的值．

Answer 1

分析：解法一設出直角三角形的兩個銳角，得到兩個銳角之間的三角函數之間的關系，寫出一元二次方程的判別式，根據判別式恒大于0，得到方程的根的情況，得到結果．
解法二根據兩個根式銳角三角形的兩個銳角，再表示出兩個方程的根，得到銳角α的余弦值，進而得到結果．

解答：解：解法一：設直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x²-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）²-4•4m=4（m-1）²≥0
∴當m∈R，方程恒有兩實根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=

m+1

2

，cosα•cosβ=sinβcosβ=

m

4

------（6分）
∴由以上兩式及sin²β+cos²β=1，得1+2•

m

4

=（

m+1

2

）²解得m=±

3

------（8分）
當m=

3

時，cosα+cosβ=

3 +1

2

＞0，cosα•cosβ=

3

4

＞0，滿足題意，
當m=-

3

時，cosα+cosβ=

1- 3

2

＜0，這與α、β是銳角矛盾，應舍去．
綜上，m=

3

------（10分）
解法二：設直角三角形的兩個銳角分別為α、β，則可得α+β=

π

2

∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x²-2（m+1）x+m=0的兩根為x=

1

2

或x=

m

2

----------（6分）
所以cosα=

1

2

，所以α=60⁰且β=30⁰----------（8分）
cosβ=cos30°=

m

2

，所以m=

3

----------（10分）．

點評：本題考查一元二次方程根與系數之間的關系即同角的三角函數之間的關系，本題解題的關鍵是利用兩個銳角互余的關系來解題，本題是一個中檔題目．