Question

如圖所示，已知橢圓C：＋y²＝1，在橢圓C上任取不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，當(dāng)A，B變化時，如果直線AB經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)T(1，0)，則直線A′B經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)為________．

Answer 1

(4，0)

設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1，由得(my＋1)²＋4y²＝4，即(m²＋4)y²＋2my－3＝0.
記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則A′(x₁，－y₁)，且y₁＋y₂＝－，y₁y₂＝－，
當(dāng)m≠0時，經(jīng)過點(diǎn)A′(x₁，－y₁)，B(x₂，y₂)的直線方程為＝.令y＝0，得x＝y₁＋x₁＝y₁＋my₁＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝4，所以y＝0時，x＝4.
當(dāng)m＝0時，直線AB的方程為x＝1，此時A′，B重合，經(jīng)過A′，B的直線有無數(shù)條，當(dāng)然可以有一條經(jīng)過點(diǎn)(4，0)的直線．當(dāng)直線AB為x軸時，直線A′B就是直線AB，即x軸，這條直線也經(jīng)過點(diǎn)(4，0)．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)A，B變化時，直線A′B經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)(4，0)．