Question

【題目】已知拋物線： 的焦點為，準線為，三個點， ， 中恰有兩個點在上．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過的直線交于， 兩點，點為上任意一點，證明：直線， ， 的斜率成等差數列．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由對稱關系可知， 兩點在上，求得拋物線的標準方程為；（2）設直線的方程為，聯立拋物線方程，得到韋達定理，表示出直線的斜率，證明滿足等差中項公式即可。

試題解析：

（I）因為拋物線： 關于x軸對稱，

所以中只能是兩點在上，

帶入坐標易得，所以拋物線的標準方程為

（II）證明：拋物線的焦點的坐標為，準線的方程為.

設直線的方程為， .

由，可得，所以，

于是，

設直線的斜率分別為，

一方面，

.

另一方面， .

所以，即直線的斜率成等差數列