Question

【題目】已知函數 (其中為自然對數的底數， )

(1) 設函數，討論函數的零點個數；

(2) 若時，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 當時，零點個數為0； 當時，零點個數為1；當時，零點個數為2；（2）

【解析】試題分析： 要求的零點個數，轉化為即 的解的個數，然后分類討論（2）依據原函數的單調性轉化為，然后分類討論

解析：（1）由得

（*），問題等價于方程（*）解的個數，

方程（*）的判別式，因此：

當時，方程（*）無解，函數的零點個數為0；

當時，方程（*）有兩個相等實數根，函數的零點個數為1；

當時，方程（*）有兩個不相等實數根，函數的零點個數為2；

（2）由是單調遞增函數，

所以可化為在時恒成立.

分情況討論：

(1) 時， 在時取得最小值，由得；

(2) 時， 在時取得最小值，由得

，無解

綜上所述： 的取值范圍是