Question

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，為的中點(diǎn)，平行于，平行于面，.

(1)求的長；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，連接、，由三角形中位線定理，以及線面平行的判定定理可得平行于，平行于，于是可得為平行四邊形，所以，；（2）取中點(diǎn)，則垂直于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，平面法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求得

平面法向量為，平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：(1)取的中點(diǎn)，連接、，

因?yàn)?/span>平行于，平行于，所以平行于，

所以四點(diǎn)共面，

因?yàn)?/span>平行于面，面與面交與，所以平行于，

所以為平行四邊形.

所以，.

(2取中點(diǎn)，則垂直于，因?yàn)?/span>平行于，所以垂直于，于是以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，

由垂直于，垂直于，平面法向量為，

通過計(jì)算得平面的法向量為.經(jīng)判斷知二面角為鈍角，于是其余弦為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判斷與性質(zhì)、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.