Question

【題目】已知四棱柱的底面是邊長為的菱形，且，平面，，于點，點是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點為，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；

（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，通過求解兩平面法向量之間夾角的余弦值，從而求得二面角夾角的余弦值.

（1）證明：∵，，∴是中點，

取中點，連，，如下圖所示：

則在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四邊形為平行四邊形，∴//，

又，//，∴四邊形為平行四邊形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即證.

（2）以為原點，以分別為建立如圖所示的空間的直角坐標系.

因為已知該四棱柱為直四棱柱，，，

所以為等邊三角形.

因為，所以點是的中點.

故點，，，，

，，.

設平面的法向量為，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

設平面和平面所成銳角為，

則.

即平面和平面所成銳角的余弦值為.