Question

設f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不單調，求b的取值范圍；
（2）若f（x）≥|x|對一切x∈R恒成立，求證：b²+1≤4c；
（3）若對一切x∈R，有，且的最大值為1，求b、c滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）在[-2，2]上不單調，可得二次函數的對稱軸在此區間，建立不等關系，即可求得b的范圍；
（2）欲使函數f（x）≥|x|對一切x∈R恒成立，只需x²+bx+c≥x與x²+bx+c≥-x同時成立即可；
（3）欲對一切x∈R，有，可轉化成對一切滿足|x|≥2的實數x，有f（x）≥0，求出的值域，再研究函數f（x）在其值域范圍內的單調性，求出最大值，建立等量關系，求出b，c滿足的條件．
解答：解：（1）由題意，
∴-4＜b＜4；
（2）須x²+bx+c≥x與x²+bx+c≥-x同時成立，即，∴b²+1≤4c；
（3）因為，依題意，對一切滿足|x|≥2的實數x，有f（x）≥0．
①當f（x）=0有實根時，f（x）=0的實根在區間[-2，2]內，設f（x）=x²+bx+c，所以，
即，又，
于是，的最大值為f（3）=1，即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．
故，即，解得b=-4，c=4．
②當f（x）=0無實根時，△=b²-4c＜0，由二次函數性質知，
f（x）=x²+bx+c在（2，3]上的最大值只能在區間的端點處取得，
所以，當f（2）＞f（3）時，無最大值．
于是，存在最大值的充要條件是f（2）≤f（3），
即4+2b+c≤9+3b+c，所以，b≥-5．又的最大值為f（3）=1，
即9+3b+c=1，從而c=-3b-8．由△=b²-4c＜0，得b²+12b+32＜0，即-8＜b＜-4．
所以b、c滿足的條件為3b+c+8=0且-5≤b＜-4．
綜上：3b+c+8=0且-5≤b≤-4．
點評：本題主要考查了函數的單調性，以及函數恒成立問題和函數最值與幾何意義，屬于中檔題．