Question

（2012•茂名一模）已知函數(shù)f（x）=lnx的圖象是曲線C，點(diǎn)An(an，f(an))(n∈N*)是曲線C上的一系列點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)A_n（a_n，f（a_n））處的切線與y軸交于點(diǎn)B_n（0，b_n），若數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，且f（a₁）=3．
（1）分別求出數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S_n表示△A_nB_n的面積，求數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定曲線C在點(diǎn)A_n（a_n，f（a_n））處的切線方程，令x=0，可得b_n=lna_n-1，利用數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，可得

an+1

an

=e2，根據(jù)f（a₁）=3，可得a₁=e³，由此即可求得數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）S_n=

1

2

×b_n×a_n=n×e²ⁿ⁺¹，T_n=1×e³+2×e⁵+…+n×e²ⁿ⁺¹，利用錯位相減法即可求和．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

1

x

，則曲線C在點(diǎn)A_n（a_n，f（a_n））處的切線方程為y-lna_n=

1

an

（x-a_n）
令x=0，則y-lna_n=-1，∴b_n=lna_n-1
∴b_n+1-b_n=lna_n+1-1-lna_n+1=2
∴

an+1

an

=e2
∵f（a₁）=3，
∴l(xiāng)n（a₁）=3，
∴a₁=e³，
∴a_n=e²ⁿ⁺¹
∴b_n=lna_n-1=2n；
（2）S_n=

1

2

×b_n×a_n=n×e²ⁿ⁺¹
∴T_n=1×e³+2×e⁵+…+n×e²ⁿ⁺¹①
∴e²T_n=1×e⁵+2×e⁷+…+（n-1）×e²ⁿ⁺¹+n×e²ⁿ⁺³②
①-②可得T_n-e²T_n=1×e³+1×e⁵+…+1×e²ⁿ⁺¹-n×e²ⁿ⁺³
∴T_n=

e3-e3+2n

(1-e2)2

-

n×e2n+3

1-e2

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯位相減法求數(shù)列的和．