Question

已知橢圓C₁的方程為，雙曲線C₂的左、右焦點分別是C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求k的范圍．
（3）試根據軌跡C₂和直線l，設計一個與x軸上某點有關的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據所設計的問題思維層次評分）．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線C₂的方程為，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，由此能求出故C₂的方程．
（2）將代入得．由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點得：，由此能求出k的取值范圍．
（3）若x軸上存在點P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
當k=0時，P點坐標為（0，0），即m=0；當k≠0時，設線段AB的中點M（x，y），線段AB的中垂線方程為，令y=0，得，由此能求出m的范圍．
解答：解：（1）設雙曲線C₂的方程為，
則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，故C₂的方程為
（2）將代入得
由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點得：∴且k²＜1…①A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則∴=
又∵，得x₁x₂+y₁y₂＞2，∴
即，解得：②，故k的取值范圍為．
（3）若x軸上存在點P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
解：顯然，當k=0時，P點坐標為（0，0），即m=0；
當k≠0時，設線段AB的中點M（x，y），
由（2）知
于是，線段AB的中垂線方程為，令y=0，得，由①知，
∴，∴m∈R，且m≠0．
綜上所述，m∈R．
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，雙曲線的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．