Question

如圖，直線l₁：y=kx（k＞0）與直線l₂：y=-kx之間的陰影區域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂．
（Ⅰ）分別用不等式組表示W₁和W₂．
（Ⅱ）若區域W中的動點P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點P的軌跡C的方程；
（Ⅲ）設不過原點O的直線l與（Ⅱ）中的曲線C相交于M₁，M₂兩點，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點．求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

Answer 1

分析：（I）根據圖象可知W₁是直線y=kx和y=-kx左半部分之間的點的集合，W₂是y=kx和y=-kx左半部分之間的點的集合進而可得答案．
（II）利用點到直線的距離根據動點P（x，y）到l₁，l₂的距離之積等于d²，建立等式，求得x和y的關系式，即點P的軌跡方程．
（Ⅲ）先看當直線l與x軸垂直時設直線l的方程為x=a，進而求得M₁M₂，M₃M₄的中點坐標，判斷出△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（

2

3

a，0），再看直線l₁與x軸不垂直時，設出直線l的方程與P的軌跡方程聯立，消去y，判別式大于0，設M₁，M₂的坐標，表示出x₁+x₂和y₁+y₂，設M₃，M₄的坐標把直線y=kx和y=mx+n表示出x₃和x₄，求得x₃+x₄=

2mn

k2-m2

=x₁+x₂，進而求得y₃+y₄=y₁+y₂，推斷出△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

解答：解：（I）根據圖象可知陰影區域左半部分，在y=-kx的下方，在y=kx的上邊，
故y的范圍可知kx＜y＜-kx，且x＜0，
陰影區域右半部分，在y=kx的下邊，y=-kx的上方，x＞0
∴W₁={（x，y）|kx＜y＜-kx，x＜0}，W₂={（x，y）|-kx＜y＜kx，x＞0}，
（II）直線l₁：kx-y=0，直線l₂：kx+y=0，由題意得

|kx-y|

k2+1

•

|kx+y|

k2+1

=d²，即

|k2x2-y2|

k2+1

=d²，
由P（x，y）∈W，知k²x²-y²＞0，
所以

k2x2-y2

k2+1

=d²，即k²x²-y²-（k²+1）d²=0，
所以動點P的軌跡C的方程為k²x²-y²-（k²+1）d²=0；
（Ⅲ）當直線l與x軸垂直時，可設直線l的方程為x=a（a≠0）．
由于直線l，曲線C關于x軸對稱，且l₁與l₂關于x軸對稱，
于是M₁M₂，M₃M₄的中點坐標都為（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標都為（

2

3

a，0），即它們的重心重合，
當直線l₁與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=mx+n（n≠0）．
由

k2x2-y2-(k2+1)d2=0 y=mx+n

，得（k²-m²）x²-2mnx-n²-k²d²-d²=0
由直線l與曲線C有兩個不同交點，可知k²-m²≠0且
△=（2mn）²+4（k²-m²）×（n²+k²d²+d²）＞0
設M₁，M₂的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

2mn

k2-m2

，y₁+y₂=m（x₁+x₂）+2n，
設M₃，M₄的坐標分別為（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由

y=kx y=mx+n

得x₃=

n

k-m

，x₄=

-n

k+m

從而x₃+x₄=

2mn

k2-m2

=x₁+x₂，
所以y₃+y₄=m（x₃+x₄）+2n=m（x₁+x₂）+2n=y₁+y₂，
于是△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生分析推理和數形結合的思想的運用．