Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點，線段AB的長為2

3

，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q，
①當|PQ|=3時，求直線l的方程；
②試問在x軸上是否存在點E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值？若存在，求出E點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根據線段AB的長為2

3

，D是AB的中點消去a與b，得到x與y的等量關系，即為動點D的軌跡C的方程；
（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點到直線的距離公式建立等式關系，從而求出直線方程；
②討論直線l的斜率是否存在，不存在時直接求

PE

•

QE

，存在時，將直線與圓聯立方程組，消去y，然后設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將

PE

•

QE

表示出來，使其與k無關即可求出m的值．

解答：解：（1）設D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點，∴x=

a+b

2

，y=

a-b

2

，
∵|AB|=2

3

，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當直線l與x軸垂直時，P（1，

2

），Q（1，-

2

），此時|PQ|=2

2

，不符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為

3

2

，
由

|-k|

k2+1

=

3

2

，解得k=±

3

．故直線l的方程為y=±

3

（x-1）．
②當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達定理得x₁+x₂=

2k2

k2+1

，x₁x₂=

k2-3

k2+1

，
則

PE

=（m-x₁，-y₁），

QE

=（m-x₂，-y₂），
∴

PE

•

QE

=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-

2mk2

k2+1

+

k2-3

k2+1

+k² （

k2-3

k2+1

-

2k2

k2+1

+1）=

(m2-2m-1)k2+m2-3

k2+1

要使上式為定值須

m2-2m-1

m2-3

=1，解得m=1，∴

PE

•

QE

為定值-2，
當直線l的斜率不存在時P（1，

2

），Q（1，-

2

），
由E（1，0）可得

PE

=（0，-

2

），

QE

=（0，

2

），
∴

PE

•

QE

=-2，
綜上所述當E（1，0）時，

PE

•

QE

為定值-2．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及軌跡問題和直線和圓的方程的應用，同時考查轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．