Question

設函數f（x）=-x²+ax（x∈[0，2]）．
（1）當a=1時，求f（x）（x∈[0，2]）的最小值；
（2）記f（x）（x∈[0，2]）的最小值為m（a），求m（a）的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）=-x²+x，再根據x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質可知f（x）的最小值．
（2）函數f（x）=-x²+ax 的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=

a

2

．再根據x∈[0，2]，利用拋物線幾何性質，分當a≤0時、0＜a≤2時、當a＞2時三種情況，分別求得m（a）．再由m（a）的解析式求得m（a）的最大值M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=-x²+x，其圖形是開口向下的拋物線．
且與x軸的兩個交點的橫坐標分別是0，1．
又x∈[0，2]，由拋物線的幾何性質可知：f（x）的最小值是f（2）=-2．
（2）∵函數f（x）=-x²+ax 的圖象是開口向下的拋物線，對稱軸為x=

a

2

．
且與x軸的兩個交點的橫坐標分別是0，a，a≠0．
若a=0，則與x軸只有一個交點，其橫坐標是0．
又∵x∈[0，2]，∴由拋物線幾何性質可知：
①當a≤0時，m（a）=f（2）=-4+2a；
②當0＜a≤2時，m（a）=f（2）=-4+2a；
③當a＞2時，m（a）=f（0）=0，
綜合①②③可知 m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

．
當a≤2時，函數m（a）=-4+2a是單調遞增函數，其最大值是M（a）=m（2）=0，
當a＞2時，又函數m（a）=0，
∴m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

 的最大值M（a）=0．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．