Question

【題目】為弘揚傳統文化，某校舉行詩詞大賽.經過層層選拔,最終甲乙兩人進入總決賽,爭奪冠軍.決賽規則如下：①比賽共設有五道題；②雙方輪流答題，每次回答一道，兩人答題的先后順序通過抽簽決定；③若答對，自己得1分；若答錯，則對方得1分；④先得3分者獲勝.已知甲、乙答對每道題的概率分別為和，且每次答題的結果相互獨立.

（Ⅰ）若乙先答題，求甲3:0獲勝的概率；

（Ⅱ）若甲先答題，記乙所得分數為，求的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（I）；（II）分布列見解析，期望為.

【解析】

試題（I）乙先答題，并且甲獲勝，事件為：乙答錯、甲答對、乙答錯，根據獨立事件的概率計算公式，可計算的概率.（2）甲先答題，由于最多獲得分，故,通過列舉法和相互獨立事件概率計算公式，可計算得分布列進而求得數學期望.

試題解析：

解：（Ⅰ）分別記“甲、乙回答正確”為事件，“甲3:0獲勝”為事件,則,. 由事件的獨立性和互斥性得: ,

.

（Ⅱ）的所有可能取值為. 0,1,2,3.

,

,

,

.

(或

.)

的分布列為：

.