Question

【題目】（本小題滿分12分） 命題實數x滿足（其中），命題實數滿足

（Ⅰ）若，且為真，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若是 的充分不必要條件，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）實數x的取值范圍為(2，3)；（2）實數a的取值范圍是(1，2].

【解析】

本題考查復合命題的應用和必要條件、充分條件、充要條件的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答

（1）當a=1時，p真：1＜x＜3，q真：2＜x≤4，由p∧q為真，能求出x的取值范圍．

（2）若p是q的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，由a＞0，知p：a＜x＜3a，q：2＜x≤4，由此能求出a的取值范圍．

（Ⅰ）由得，又，所以，

當時，1<，即為真時實數的取值范圍是1<. ········· 2分

由得解得，

即為真時實數的取值范圍是. ··················· 4分

若為真，則真且真，所以實數的取值范圍是. ········· 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：，則：或，··········· 8分

q：，則：或，···················· 10分

是的充分不必要條件，則，且，

∴解得，故實數a的取值范圍是．··········· 12分