Question

若為常數，且。
（Ⅰ）求對所有的實數成立的充要條件（用表示）；
（Ⅱ）設為兩實數，且，若，求證：在區間上的單調增區間的長度和為（閉區間的長度定義為）。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）證明見解析。

本小題考查充要條件、指數函數與絕對值、不等式的綜合運用。
（I）恒成立

若，則，顯然成立；若，記
當時，，
所以，故只需；
當時，，
所以，故只需。
（II）如果，則的圖象關于直線對稱，
因為，所以區間關于直線對稱。
因為減區間為，增區間為，所以單調增區間的長度和為。
如果，結論的直觀性很強。