Question

(本小題滿分14分)

已知函數的減區間是．

⑴試求、的值；

⑵求過點且與曲線相切的切線方程；

⑶過點是否存在與曲線相切的3條切線，若存在，求實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：⑴ 由題意知：的解集為，

 所以，-2和2為方程的根……2分

                     

由韋達定理知，即m=1，n=0． ……4分

⑵ ∵，∴，∵

當A為切點時，切線的斜率 ，

∴切線為，

即； ……6分

當A不為切點時，設切點為，這時切線的斜率是，

切線方程為，即   

因為過點A（1，-11），  ，∴，

∴ 或，而為A點，即另一個切點為，

∴ ，

切線方程為 ，即 ………………8分

所以，過點的切線為或． …9分

⑶ 存在滿足條件的三條切線．                                  

設點是曲線的切點，

則在P點處的切線的方程為  即

因為其過點A（1，t），所以，，   

由于有三條切線，所以方程應有3個實根，         ……………11分

設，只要使曲線有3個零點即可．

因為 =0， ∴ ，

當時，在和 上單增，

當時，在上單減，

所以，為極大值點，為極小值點.

所以要使曲線與x軸有3個交點，當且僅當即，

解得   .                                ………14分

【解析】略