Question

對于函數f(x)，若存在x_o∈R，使f(x_o)＝x_o成立，則x_o為f(x)的不動點．已知函數f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．

(1)當a＝1，b＝－2時，求函數f(x)的不動點；

(2)若對任意實數b，函數f(x)恒有兩個相異的不動點，求 a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f(x)的不動點，且A、B兩點關于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

 

Answer 1

答案：
提示：

命題意圖：本題主要考查二次函數及其圖象、一元二次方程和直線方程以及不等式的綜合應用，考查學生的自學能力和邏輯思維能力． 解題思路：扣住“不動點”的定義，建立相應的方程求解． (1)當a＝1，b＝－2時，f(x)＝x2－x－3． 由題意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3． 故當a＝1，b＝－2時，f(x)的兩個不動點為－1，3． (2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)恒有兩個不動點， cx＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)， 即ax2＋bx＋(b－1)＝0恒有兩個相異的實數根，得 △＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立． 于是△’＝(4a)2－16a<0．解得0<a<1． 故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，a的取值范圍是0<a<1． (3)由題意，A、B兩點應在直線y＝x上，設A(x1，y1)、B(x2，y2)． ∵點A、B關于直線y＝kx＋對稱，∴k＝－1． 設AB的中點為M(x’，y’)． ∵x1、x2是方程ax2＋bx＋b－1＝0的兩個根， 于是，由M在直線y＝－x＋上，得－ 即b＝－＝a>0,∴2a＋當且僅當2a＝，即a＝∈(0，1)時取等號． 故b≥－,得b的最小值為－． 評點：本題借助不變量思想，以不動點作為栽體命題，蘊含著“及時定義，及時解答”的試題結構特征，新穎而富于思考．將圖象問題轉化為代數問題來研究，充分體現了數形結合的思想方法．