Question

已知{ a_n}是等差數列，{ b_n}是等比數列，S_n是{ a_n}的前n項和，a₁=b₁=1，S₂=

12

b2

．
（Ⅰ）若b₂是a₁，a₃的等差中項，求a_n與b_n的通項公式；
（Ⅱ）若a_n∈N^*{ban}是公比為9的等比數列，求證：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

分析：求解本題，宜先將S₂=

12

b2

化簡用首項與公差、公比表示出來
（Ⅰ）b₂是a₁，a₃的等差中項，由此可以得到2b₂=a₁+a₃，將其與S₂=

12

b2

聯立即可求得兩數列的公差與公比，由通項公式求出通項即可．
（Ⅱ）由{ban}是公比為9的等比數列，引入公比q，利用等比數列的性質得到

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．與S₂=

12

b2

結合可得q=

12

2+d

．再由a_n∈N^*，知d是正整數，再結合q^d=3²．對d，q的值進行判斷，驗證即得d，q的值，由此S_n可求出，求出其倒數，利用放縮法將其倒數變為可以裂項的形式，將前n項的和的倒數放大即可證明不等式．

解答：解：設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}公比為q．
（Ⅰ）∵S₂=

12

b2

，∴a₁+a₁+d=

12

b1q

，，而a₁=b₁=1，則q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中項，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
聯立①，②，解得

d=2 q=3

或

d=-5 q=-4

（4分）
所以a_n=1+（n-1）•2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）•（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）∵a_n∈N^*，ban=b₁qan-1=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴

ban+1

ban

=

qnd

q(n-1)d

=q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=

12

2+d

．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d為正整數，從而根據①②知q＞1且q也為正整數，
∴d可為1或2或4，但同時滿足①②兩個等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．（10分）
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

(n-1)(n+1)

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）（n≥2）．
當n≥2時，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+2（

1

3

-

1

5

）+2（

1

5

-

1

7

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=1+2[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

5

3

-

1

2n+1

＜

5

3

．
顯然，當n=1時，不等式成立．
故n∈N^*，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

5

3

．（14分）
思路2或者和文科題的解法相同，前兩項不變，從第三項

1

32

開始縮小：
當n≥2時，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）
=1+

1

4

+

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=1+

1

4

+

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

）
=

5

3

-

1

n

-

1

n+1

＜

5

3

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查了根據題設中的條件建立方程求數列的通項以及用放縮法與裂項求和的技巧證明不等式，本題綜合性較強，難度較大，解題過程中有兩點比較關鍵，一是根據數列的項是正整數判斷出公差與公比的值，一是由放縮法將前n項的倒數和進行放大為可以裂項的形式，題后應對這兩點好好總結．