Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面，等邊三角形AB₁C所在平面與面ABC垂直，且∠ACB=90°，設AC=2a，BC=a.

(Ⅰ)證明：B₁C₁為異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

(Ⅱ)求點A與平面VBC的距離；

(Ⅲ)求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

答案：方法1：傳統的立體幾何演繹法

(Ⅰ)證明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC

∵BC⊥AC，∴B₁C₁⊥A₁C₁

又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面

ABC=AC，

∴BC⊥平面AB₁C，∴BC⊥AB，∴B₁C₁⊥AB₁，

又∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁，B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線.

(Ⅱ)解法1：過4作AD⊥B₁C于D.

∵△AB₁C為正三角形，∴D為B₁C的中點.

∵BC上平面AB1C，∴BC⊥AD，

又B₁C∩BC=C，∴AD⊥平面VBC，

∴線段AD的長即為點A到平面VBC的距離.

在正△AB₁C中，AD=,AC=×2a=a.

∴點A到平面VBC的距離a.

解法2：取AC中點O連接B₁O，則B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.

由(Ⅰ)知BC⊥B₁C，設A到平面VBC的距離為x，

∴，

即BC·AC·B₁O=BC·B₁C·x，解得

x=a.

即A到平面VBC的距離為a.

(Ⅲ)過D點作DH⊥VB于H，連AH，由三垂線定理知AH⊥VB

∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角.

在Rt△AHD中，

AD=a·△B₁DH=△B₁BC·.

∴DH=a.

∴tan∠AHD=.∴∠AHD=arctan.

所以，二面角A-VB-C的大小為arctan.

方法2：空間向量法

取AC中點O，連接B₁O，易知B1O⊥平面ABC，過O作直線0H∥BC交AB于H

取O為空間直角坐標系的原點，OH、OC、OB₁所在

自線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則A(0，-a，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，B₁(0，0，a)

(Ⅰ)=(-a，0，0)，=(0，a，a)，

∴·=(-a，0，0)·(0，a，a)=0

∴⊥，∴BC⊥AB₁，

又∵B₁C₁∥BC，由已知BC⊥AC，A₁C₁∥AC，

∴B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥AB₁

即B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線.

(Ⅱ)設n=(x，y，z)是平面佃C的一個法向量，

又=(-a，0，0)，=(-a，-a，a)，

則

令z=，則x=0,y=3

∴n=(0，3,)

設所求距離為d，d=a，

∴點A到平在VBC的距離為a.

(Ⅲ)設平面VAB的一個法向量為m=(s，t，f)，又=(a，2a，0)

則

令f=，則s=6，t=-3

即m=(6，-3，)，

設二面角A-VB-C為α，n=(0，3,)

cos＜n，m＞=

又二面角A-VB-C為銳角，則二面角A-VB-C的大小為arccos.