Question

（2013•紅橋區二模）如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC=

3

．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求直線CF與平面BDEF所成的角；
（3）求異面直線AF與BD所成的角．

Answer 1

分析：（I）根據菱形的性質和等腰三角形“三線合一”，證出FO⊥AC，結合BD⊥AC且FO∩BD=O，即可證出AC⊥平面BDEF；
（II）由（I）知∠CFO就是直線CF與平面BDEF所成的角，根據四邊形ABCD．四邊形BDEF都是含有60°角的菱形，算出Rt△OFC是等腰三角形，由此可得直線CF與平面BDEF所成角等于45°；
（III）設H為CF的中點，連結OH，由三角形中位線定理和異面直線所成角的定義，得到直線AF與BD所成的角等于OH、BD所成的銳角或直角．利用線面垂直判定定理證出BD⊥平面AFC，從而得到BD⊥OH，由此即可得到異面直線AF與BD所成的角等于90°．

解答：解：（I）∵菱形ABCD的對角線交點為O，∴O是AC的中點
∵FA=FC，∴FO⊥AC
又∵BD⊥AC，FO∩BD=O，∴AC⊥平面BDEF…（4分）
（II）∵AC⊥平面BDEF，得OF為CF在平面BDEF內的射影
∴∠CFO就是直線CF與平面BDEF所成的角
∵四邊形ABCD．四邊形BDEF都是菱形，∠DAB=∠DBF=60°
∴OC=

1

2

AC=

3

2

，BD=

3

3

AC=1，可得OF=

3

2

BD=

3

2

∴Rt△OFC中，OF=OC，得∠CFO=45°，即直線CF與平面BDEF所成角等于45°
（III）設H為CF的中點，連結OH，可得
∵OH是△AFC的中位線，
∴AF∥OH，可得OH、BD所成的銳角或直角等于直線AF與BD所成的角．
∵BD⊥AC，BD⊥OF，AC∩OF=O，∴BD⊥平面AFC
又∵OH?平面AFC，∴BD⊥OH，得OH、BD所成角為直角，
因此可得異面直線AF與BD所成的角等于90°．

點評：本題在特殊多面體中證明線面垂直，并求直線與平面所成角、異面直線的所成角．著重考查了菱形的性質、線面垂直的判定與性質和直線與平面所成角的定義等知識，屬于中檔題．