Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣1﹣alnx．
（Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值；
（Ⅱ）設m為整數，且對于任意正整數n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為函數f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣ = ，且f（1）=0．
所以當a≤0時f′（x）＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以在（0,1）上f(x)<0,這與f（x）≥0矛盾；
當a＞0時令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增，即f（x）min=f（a），
又因為f（x）min=f（a）≥0，
所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當a=1時f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x當且僅當x=0時取等號，
所以ln（1+ ）＜ ，k∈N*,
所以 ，k∈N* ．
一方面，因為 + +…+ =1﹣ ＜1，
所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；
另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，
同時當n≥3時，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
因為m為整數，且對于任意正整數n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，
所以m的最小值為3．
【解析】（Ⅰ）通過對函數f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求導，分a≤0、a＞0兩種情況考慮導函數f′（x）與0的大小關系可得結論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，進而取特殊值可知ln（1+ ）＜ ，k∈N* ． 一方面利用等比數列的求和公式放縮可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且當n≥3時，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和等比數列的前n項和公式，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；前項和公式：才能得出正確答案．