Question

【題目】過圓 ： 上的點 作 軸的垂線，垂足為 ，點 滿足 .當 在 上運動時，記點 的軌跡為 .

（1）求 的方程；

（2）過點 的直線 與交于 ， 兩點，與圓 交于 ， 兩點，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】試題分析：(1)由代入向量計算出 的軌跡為(2)利用韋達定理和弦長公式計算得，化簡運用定義域給出范圍

解析：（1）設點坐標，點坐標，點坐標，

由可得

因為在圓:上運動，

所以點的軌跡的方程為．

（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，，

所以．

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，

聯立方程組消去，整理得，

因為點在橢圓內部，所以直線與橢圓恒交于兩點，

由韋達定理，得，，

所以，

，

在圓:，圓心到直線的距離為，

所以，

所以．

又因為當直線的斜率不存在時，，

所以的取值范圍是．