Question

已知函數f（x）=

x

1+x

（x＞0），設f（x）在點（n，f（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為b_n，數列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，an+1=f(an)(n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{

bn

a 2 n

+

λ

an

}中，僅當n=5時，

bn

a 2 n

+

λ

an

取最小值，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）令函數g（x）=f（x）（1+x）²，數列{c_n}滿足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求證：對于一切n≥2的正整數，都滿足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

x

1+x

(x＞0)．和an+1=f(an)=

an

1+an

，可得到

1

an+1

=

1

an

+1最后由等差數列的定義求解即可．
（Ⅱ）通過求導得到切線的斜率，從而求得切線的方程，y-f(n)=

1

(1+n)2

(x-n)，令x=0，可得bn=

n

1+n

-

n

(1+n)2

=

n2

(1+n)2

．化簡

bn

an2

+

λ

an

=n2+λ(n+1)=(n+

λ

2

)2+λ-

λ2

4

由二次函數法求解即可．
（Ⅲ）結合（I）得g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），兩邊取倒數可得

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．再由錯位相消法化簡問題論證即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

1+x

(x＞0)．則an+1=f(an)=

an

1+an

，得

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，
∴數列{

1

an

}是以2為首項、1為公差的等差數列，
故an=

1

n+1

．（4分）
（Ⅱ）又∵[f(x)]′=

1

(1+x)2

，
∴函數f（x）在點（n，f（n））（n∈N*）處的切線方程為：y-f(n)=

1

(1+n)2

(x-n)，
令x=0，得bn=

n

1+n

-

n

(1+n)2

=

n2

(1+n)2

．
∴

bn

an2

+

λ

an

=n2+λ(n+1)=(n+

λ

2

)2+λ-

λ2

4

，僅當n=5時取得最小值，
只需4.5＜-

λ

2

＜5.5，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范圍為（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵c1=

1

2

＞0，故c_n＞0，則

1

cn+1

=

1

cn(1+cn)

=

1

cn

-

1

1+cn

，
即

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．（11分）
∴

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

=(

1

c1

-

1

c2

)+(

1

c2

-

1

c3

)++(

1

cn

-

1

cn+1

)
=

1

c1

-

1

cn+1

=2-

1

cn+1

＜2．
又

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

≥

1

1+c1

+

1

1+c2

=

1

1+ 1 2

+

1

1+ 3 4

=

2

3

+

4

7

=

26

21

＞1，
故1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

＜2．（14分）

點評：本題是函數、數列、不等式、導數等的大型綜合題，情景新穎，具有較好的區分度，要求學生具有一定的審題、讀題能力，一定的等價變形能力，是一種比較常見的題型，尤其數列不等式采用導數工具來處理的新題不可小視．