Question

（5分）（2011•陜西）（請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．（不等式選做題）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a對任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是         ．
B．（幾何證明選做題）如圖，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，則AE=         ．

C．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系xoy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，設(shè)點A，B分別在曲線C₁： （θ為參數(shù)）和曲線C₂：p=1上，則|AB|的最小值為         ．

Answer 1

（﹣∞，3]  2    1

試題分析：A．首先分析題目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范圍，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．對于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它幾何意義：在數(shù)軸上點x到點﹣1的距離加上點x到點2的距離．分析得當(dāng)x在﹣1和2之間的時候，取最小值，即可得到答案；
B．先證明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根據(jù)相似建立等式關(guān)系，求出所求即可；
C．先根據(jù)ρ²=x²+y²，sin²+cos²θ=1將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化成直角坐標(biāo)方程，根據(jù)當(dāng)兩點連線經(jīng)過兩圓心時|AB|的最小，從而最小值為兩圓心距離減去兩半徑．
解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．
故設(shè)函數(shù)y=|x+1|+|x﹣2|． 設(shè)﹣1、2、x在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是A、B、P．
則函數(shù)y=|x+1|+|x﹣2|的含義是P到A的距離與P到B的距離的和．
可以分析到當(dāng)P在A和B的中間的時候，距離和為線段AB的長度，此時最小．
即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值為3．
即：k≤3．
故答案為：（﹣∞，3]．
B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°
∴Rt△ABE∽Rt△ADC
而AB=6，AC=4，AD=12，
根據(jù)AD•AE=AB•AC解得：AE=2，
故答案為：2
C．   消去參數(shù)θ得，（x﹣3）²+y²=1
而p=1，則直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，點A在圓（x﹣3）²+y²=1上，點B在圓x²+y²=1上
則|AB|的最小值為1．
故答案為：1
點評：A題主要考查不等式恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式求最值的問題，對于y=|x﹣a|+|x﹣b|類型的函數(shù)可以用分析幾何意義的方法求最值．本題還考查了三角形相似和圓的參數(shù)方程等有關(guān)知識，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．