Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點）．
（1）若橢圓的離心率為

1

2

，求橢圓的方程；
（2）求證：不論a，b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的一個定點P，并求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合直線與橢圓有兩個交點，且OA⊥OB，結(jié)合一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系及向量垂直的充要條件、韋達定理，求出a，b的值，可得橢圓的方程；
（2）由（1）有a²+b²-2a²•b²=0，可得

1

2a2

+

1

2b2

=1，即

( 2 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

=1，進而證得結(jié)論．

解答：（1）解：由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（2a²）²-4（a²+b²）[a²（1-b²）]＞0，整理得a²+b²＞1
設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁•x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

∴y₁•y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1
∵OA⊥OB
∴x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=

2a2(1-b2)-2a2+a2+b2

a2+b2

=0，即a²+b²-2a²•b²=0．
又∵e²=

a2-b2

a2

=

1

4

∴a2=

7

6

，b2=

7

8

．
故橢圓的方程為

x2

7 6

+

y2

7 8

=1．
（2）證明：由（1）有a²+b²-2a²•b²=0，
∴

1

2a2

+

1

2b2

=1，
即

( 2 2 )2

a2

+

( 2 2 )2

b2

=1．
則不論a，b如何變化，橢圓恒過第一象限內(nèi)的定點P（

2

2

，

2

2

）．

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的簡單性質(zhì)，是高考的壓軸題型，綜合能力強，運算量大，屬于難題．