Question

水土流失是我國西部大開發中最突出的問題，全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林，其中西部占70%，2002年國家確定在西部地區退耕還林面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%.
(1)試問，從2002年起到哪一年西部地區基本上解決退耕還林問題？
(2)為支持退耕還林工作，國家財政補助農民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計算，并且每畝退耕地每年補助20元，試問到西部地區基本解決退耕還林問題時，國家財政共需支付約多少億元？

Answer 1

（1）2009年（2）570億元

(1)設2002年起經x年西部地區基本上解決退耕還林問題．依題意，得
515＋515×(1＋12%)＋515×(1＋12%)²＋…＋515×(1＋12%)^x－1＝9100×70%，即515×[1＋1.12＋1.12²＋…＋1.12^x－1]＝6370，，
整理得1.12^x≈2.4843?x≈log_1.122.4843＝≈8.03.
又x∈N，故從2002年起到2009年年底西部地區基本解決退耕還林問題．
(2)設到西部地區基本解決退耕還林問題時國家共需支付y億元．
首批退耕地國家應支付：515×10⁴×(300×0.7＋20)×8，
第二批退耕地國家應支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×7，
第三批退耕地國家應支付：515×10⁴×(1＋20%)×(300×0.7＋20)×6，
…
最后一批退耕地國家應支付：515×10⁴×(1＋20%)⁷×(300×0.7＋20)×1.
y＝，
令S＝8＋7×1.12＋6×1.12²＋…＋1×1.12⁷，①
1．12S＝8×1.12＋7×1.12²＋6×1.12³＋…＋1×1.12⁸，②
②－①，得0.12S＝－8×(1.12＋1.12²＋1.12³＋…＋1.12⁷)＋1×1.12⁸，
即0.12S＝－8＋＝－8＋≈－8＋，
解得S≈48.1，故y≈(515×10⁴×230×48.1)÷10⁸≈569.7億元．
故到西部地區基本解決退耕還林問題國家共需支付約570億元