Question

設函數f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）記集合M={（a，b，c）|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a=b}，則（a，b，c）∈M所對應的f（x）的零點的取值集合為    ．
（2）若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是    ．（寫出所有正確結論的序號）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由集合M中的元素滿足的條件，得到c≥a+b=2a，求得的范圍，解出函數f（x）=a^x+b^x-c^x的零點，利用不等式可得零點x的取值集合；
（2）對于①，把函數式f（x）=a^x+b^x-c^x變形為，利用指數函數的單調性即可證得結論成立；
對于②，利用取特值法說明命題是正確的；
對于③，由△ABC為鈍角三角形說明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零點的存在性定理可得命題③正確．
解答：解：（1）因為c＞a，由c≥a+b=2a，所以，則．
令f（x）=a^x+b^x-c^x=．
得，所以．
所以0＜x≤1．
故答案為{x|0＜x≤1}；
（2）因為，
又，
所以對?x∈（-∞，1），．
所以命題①正確；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．則a^x=，b^x=，c^x=．不能構成一個三角形的三條邊長．
所以命題②正確；
若三角形為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命題③正確．
故答案為①②③．
點評：本題考查了命題真假的判斷與應用，考查了函數零點的判斷方法，訓練了特值化思想方法，解答此題的關鍵是對題意的正確理解，此題是中檔題．