Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點．
（1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率K_ON；
（2）對于橢圓C上任意一點M，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的焦距，利用離心率求得a和c的關系進而求得a和b的關系，把右焦點F的坐標代入直線AB的方程，利用韋達定理求得x₁+x₂的表達式，進而求得ON的斜率．
（2）根據題意可知

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，有且只有一對實數λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．設出M的坐標利用1）中各點的坐標整理求得x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．代入橢圓的方程整理求得λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．利用（1）中x₁+x₂和x₁•x₂的表達式代入整理求得x₁x₂+3y₁y₂=0，進而把A，B的坐標代入橢圓的方程，聯立方程求得λ²+μ²=1，設以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為θ，則可推斷出λ=cosθ，μ=sinθ．進而判斷出對于橢圓C上任意一點M，總存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

解答：解：（1）設橢圓的焦距為2c，因為

c

a

=

6

3

，
所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．從而橢圓C的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點F的坐標為（

2

b，0），
據題意有AB所在的直線方程為：y=x-

2

b②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0③
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中點N（x₀，y₀），由③及韋達定理有：x0=

x1+x2

2

=

3 2 b

4

，y0=x0-

2

b=-

2

4

b．
所以KON=

y0

x0

=-

1

3

，即為所求．
（2）顯然

OA

與

OB

可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量

OM

，
有且只有一對實數λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
設M（x，y），由1）中各點的坐標有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
所以x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又點在橢圓C上，所以有（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²
整理為λ²（x₁²+3y₁²）+μ²（x₂²+3y₂²）+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2 b

2

，x1•x2=

3b2

4

．
所以
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-

2

b)(x2-

2

b)=4x1x2-3

2

b(x1+x2)+6b2
=3b²-9b²+6b²=0⑤
又A﹑B在橢圓上，故有（x₁²+3y₁²）=3b²，（x₂²+3y₂²）=3b²⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．
對于橢圓上的每一個點M，總存在一對實數，使等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立，
而λ²+μ²=1
在直角坐標系x-o-y中，取點P（λ，μ），
設以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為θ，顯然λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：對于橢圓C上任意一點M，總存在角θ（θ∈R）使等式：

OM

=cosθ

OA

+sinθ

OB

成立．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生綜合分析問題，基礎知識的綜合運用以及基本的計算能力．